Bài 16: Bài toán tìm phối hợp tối ưu trong sản xuất (Tối thiểu chi phí)

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 2(K-2)*L. Giá thị trường của 2 yếu tố sản xuất K và L lần lượt là: P_K = 4 (giá thuê vốn -máy móc thiết bị) và P_L=2 (giá thuê lao động). Giả sử doanh nghiệp được đối tác đề nghị một hợp đồng với sản lượng 3600 đvsp và giá là 0,1 đvt/sg.

Yêu cầu: 

1. Xác định phối hợp tối ưu giữa 2 yếu tố sản xuất sau cho chi phí sản xuất thấp nhất.
2. Tính tổng chi phí sản xuất (chi phí trực tiếp) thấp nhất đạt được.
3. Đưa ra lời tư vấn giúp doanh nghiệp quyết định có nên ký hợp đồng hay không, biết rằng ngoài chi phí sản xuất, doanh nghiệp gánh chịu chi phí quản lý và chi phí bán hàng với tổng hai khoản chi phí này chiếm 30% chi phí sản xuất.

Lời giải

Câu 1:                                        

Từ hàm sản xuất ban đầu, kết hợp với đơn đặt hàng, hàm sản xuất được viết lại như sau:

    2(K-2)*L = 3600     

⇔ (K-2)*L = 1800 (*)

Cũng từ hàm sản xuất Q = 2(K-2)*L

⇒     MP_K =(Q)_K’ = L

       và  MP_L =(Q)_L’ = K-2

 Theo lý thuyết, phối hợp tối ưu giữa 2 yếu tố sản xuất đạt được khi thỏa mãn hệ phương trình:

            Q = f(K,L)             – Hàm sản xuất

       và MP_K*P_L = MP_L*P_K     – Phương trình tối ưu trong sản xuất

Thế các giá trị có được từ đề bài và kết quả ở trên vào, ta được 

            (K-2)*L = 1800    (1)     

       và  L*2 = (K-2)*4       (2) 

⇔          (K-2)*L = 1800    (1′)     

       và   L = 2(K-2)       (2′) 

Thế (2′) vào (1′)

=> 2(K-2)² = 1800  ⇔ (K-2)² = 900 ⇔ (K-2)= 30 ⇒ K=32

Thế vào (2’) =>  L = 60

Vậy phối hợp tối ưu là 32 yếu tố vốn và 60 lao động, hay nói cách khác là doanh nghiệp nên thuê 32 yếu tố vốn và 60 lao động để có được mức chi phí sản xuất thấp nhất.

Câu 2:                                        

Theo lý thuyết, hàm Chi phí sản xuất được viết

            TC = P_K*K + P_L*L  

Thay các số liệu về giá đã cho và lượng vốn, lao động vừa tính được, ta có

            TC = 4*32 +2*60 = 248

Như vậy, tổng chi phí sản xuất thấp mà doanh nghiệp phải chi là 248 đvt

Câu 3:                                        

Để đưa ra lời tư vấn, cần xác định xem doanh nghiệp có đạt được lợi nhuận (∏) từ hợp đồng này hay không?

Mà  ∏  = TR – TC

Trong đó, TR=P*Q = 0,1*3800 = 380

              TC= chí phí trực tiếp (sản xuất) + chi phí gián tiếp (bán hàng và quản ký)

                 = 248 +248*30% = 322,4

 => ∏ = 380 – 322,4 = 57,6 đvt

Như vậy, nếu thực hiện hợp đồng, doanh nghiệp sẽ đạt được lợi nhuận 57,6 đvt. Với giả định và dữ liệu giới hạn trong bài, doanh nghiệp nên thực hiện  hợp đồng.